Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами.

Глава 1. Всеохватывающие числа

Всеохватывающие числа.

Понятие всеохватывающего числа. Операции над всеохватывающими числами.

1.1.1. Определение. Всеохватывающим числом именуется выражение вида a+bi, где a и b ¾ произвольные действительные числа, i ¾ некий новый знак, именуемый надуманной единицей; a именуется реальной частью, b ¾ надуманной частью всеохватывающего числа a+bi.

Огромное количество всех всеохватывающих чисел обозначается через С: С=a+bi [i].

Действительная часть a всеохватывающего числа a=a+bi обозначается через Rea, а надуманная часть Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами. ¾ через Ima. Таким макаром, если a=a+bi, то Rea=a и Ima=b.

Два всеохватывающих числа именуются равными, если их действительная и надуманная части равны соответственно: a=b Û Rea=Reb и Ima=Imb.

Число a+(-b)i обозначают через a-bi, другими словами a+(-b)i =a-bi.

1.1.2. Определение. Суммой 2-ух всеохватывающих чисел a+bi и c+di именуется всеохватывающее число (a+c)+(b+d)i. Их произведением именуется всеохватывающее число (ac-bd)+(ad+bc)i.

Сумма всеохватывающих чисел a и b обозначается через a+b, а их произведение Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами. ¾ через ab. Таким макаром, по определению

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i и (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

1.1.3. Аксиома. Операции сложения и умножения над всеохватывающими числами удовлетворяет условиям:

1) Для всех a, b из С следует, что a +b=b +a.

2) Для всех a, b и g из С следует, что (a +b)+g=a +(b +g).

3) Для всех a, b и g из С следует, что

(a+b)g=ag+bg и a(b+g)=ab+ag.

4) В С есть такие всеохватывающие числа 0С и 1С, что 0С+a=a+0С=a и Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами. 1С×a=a×1С=a для хоть какого a из С.

5) Для хоть какого a из СвС существует b таковой, что a+b=0С. Таковой b обозначается через -a.

6) Для хоть какого a¹0С из СвС существует b таковой, что a×b=1С.

При всем этом 0С=0+0i, 1С=1+0i, если a=a+bi, то -a=(-a)+(-b)i, и если a=a+bi¹0С (другими словами a2+b2¹0), то a = - i. Числа 0С и 1С именуются соответственно всеохватывающим нулём и комплекснойединицей, -a - обратным кa, a - оборотным кa.

Как лицезреем, характеристики 1) - 6) операций сложения и умножения над Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами. всеохватывающими числами фактически схожи аналогичным операциям над действительными числами. Из этих параметров (назовём их основными) вытекают другие, которые также схожи свойствам сложения и умножения реальных чисел. Посреди их укажем последующие:

7) 0С и 1С единственны.

8) В суммах и произведениях вида (…((a1+a2)+a3)+…+ak) и (…((a1a2)a3)…ak) скобки можно расставлять произвольным образом. В связи с этим скобки Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами. принято опускать:

(…((a1+a2)+a3)+…+ak)=a1+a2+…+ak,

(…((a1a2)a3)…ak)=a1a2…ak.

9) Для хоть какого a из С -(-a)=a и (a ) =a (a¹0С).

10) Для всех a, b из С существует единственное х из С такое, что х+a=b иa +х=b . Оно равно х=b+(-a). Это число обозначается через b -a и именуется разностью чисел b и a.

11) Для всех a, b из С (a¹0С) существует единственное х из С такое, что хa=b иa х=b . Оно равно х=ba . Это число обозначается через и именуется личным чисел b и Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами. a.

12) Для всех всеохватывающих чисел a1, a2, …, ak, b имеют место равенства

(aa2±…±ak)b=a1b±a2b±…±akb,

b (aa2±…±ak)=baba2±…±bak.

В конце концов, для всеохватывающих чисел, так же, как и для реальных, определена степень с целым показателемk:

ak=

для которой выполнены характеристики, подобные свойствам степени реального числа с целым показателем:

akal=ak+l, =ak-l, (ak) l=akl, akb k=(ab)k, = .

Отметим также, что справедливы характеристики, подобные для степеней сумм и разностей реальных чисел. А именно Понятие комплексного числа. Операции над комплексными числами., для всех всеохватывающих чисел a и b имеют место формулы сокращённого умножения:

a 2 -b 2=(a -b)(a +b),

a 3 -b 3=(a -b)(a 2 +ab+b 2),

a 3 +b 3=(a +b)(a 2 -ab+b 2),

(a +b)2=a 2 +2ab+b 2,

(a -b)2=a 2 -2ab+b 2,

(a +b)3=a 3 +3a2b+3ab 2+b 3,

(a -b)3=a 3 -3a2b+3ab 2-b 3.

В общем случае справедлива формула двучлена Ньютона:

(a+b)n= .

1.1.4. Упражнение. Вычислить:

а) (3-2i)(2+3i)+(5+2i)(2-i); г) ;

б) (3-2i)(1-3i)-(5+2i)(1+2i); д) ;

в) ; е) .

Решение. г) Найдём раздельно числитель, за ранее вычислив (2+i)3 и (2-i)3.

Имеем

(2+i)2=(2+i)(2+i)=(2×2-1×1)+(2×1+1×2)i=3+4i,

(2+i)3=(2+i)2(2+i)=(3+4i)(2+i)=(3×2-4×1)+(3×1+4×2)i=2+11i,

(2-i)2=(2+(-1)i)2=(2+(-1)i)(2+(-1)i)=(2×2-(-1)×(-1))+(2×(-1)+(-1)×2)i=3-4i,

(2-i)3=(2-i)2(2-i)=(3-4i)(2-i)=(3×2-(-4)×(-1))+(3×(-1)+(-4)×2)i=2-11i.

Потому

(2+i)3+(2-i)3 [ii][(2+i)+(2-i)][(2+i)2-(2+i)(2-i)+(2-i)2]=

=(4+0i)[(3+4i)-(5+0i)+(3-4i)]=(4+0i)(1+0i)=4+0i.

Дальше,

(2+i)3+(2-i)3=(2+11i)+(2-11i)=(2+2)+(11+(-11))i=4+0i,

= =(4+0i)(5+2i) =(4+0i)( + i)=

=(4+0i)( - i)=[4× -0×(- )]+[4×(- )-0× ]i= - i.

á(1) применяем формулу для a3+b 3 при a=2+i и b=2-iñ

Ответ: - i.


ponyatie-i-vidi-obshestvennogo-blaga.html
ponyatie-i-vidi-organov-doznaniya.html
ponyatie-i-vidi-otpuskov-kurs-lekcij-vdvuh-chastyah-chast-2-minsk-2007-udk-349-2075-8-bbk-67-99.html